买保险会增大破产风险

p：单次赌博赢的概率
q：单次赌博输的概率
P(k):资金为k时的破产概率
B：资金(美元)
b：每次下注量
W：盈利能力(美元)
S：盈利能力标准差(美元)
N：以前赌博样本数(小时)

使用例子：
设计一个游戏，用100张卡片，红色的55张，白色的45张。
随机抽取一张卡片，如果时红色，甲赢乙输，如果时白色，乙赢甲输。
初始甲有100美元，乙有100亿美元，每次下注1美元。
求甲破产的概率。



P(0)=1，宣布破产
甲的资金有p可能变成B+1，有q可能变成B-1。下面式子不难理解：
P(B)=pP(B+1)+qP(B-1)

pP(B)+qP(B)=pP(B+1)+qP(B-1)

也可以写成：
P(B+1)-P(B)=(q/p)(P(B)-P(B-1))

那么：
P(2)-P(1)=(q/p)(P(1)-P(0))
P(3)-P(2)=(q/p)(P(2)-P(1))=(q/p)^2(P(1)-P(0))
P(4)-P(3)=(q/p)(P(3)-P(2))=(q/p)^3(P(1)-P(0))


……
P(B+1)-P(B)=(q/p)^B(P(1)-P(0))

P(m)-P(B)=(P(m)-P(m-1)) +  …+ (P(B+1)-P(B))

求和得
P(m)-P(B)＝(P(1)-P(0))((q/p)^B-(q/p)^m)/(1-q/p)
当m=0时：
1-P(B)=(1-P(1))(1-(q/p)^B)(1-(q/p))
当m趋于无穷大时，也就是钱无穷多是P(m)趋于0,不会破产
P(B)=(1-P(1))(q/p)^B/(1-(q/p))
得：
（1-P(B))/P(B)=(1-(q/p)^B)/(q/p)^B

P(B)=(q/p)^B
如果每次下注量为b美元
显然：
P(B)=(q/p)^(B/b)

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以上是我在《破产风险计算公式推导》的前面部分，这里没有近似，纯理论结果。
大家都公认买保险是负EV的行动，也就是降低了盈利能力，从公式看，就是增大了q，减小了p，在B和b不变的情况下P(B)增大。
因此买保险不但不能降低破产风险，反而增大了破产风险。