作者：Robert Woolley

这是使用组合计算器来回答关于扑克概率问题文章的第二部分，这些问题并不只是数补牌而已。对了，上篇文章发出后（《只懂数补牌打不好Poker，真正实用的扑克数学在这里（上）》），有位读者留言指出了一件我当时不知道的事情。其实你既不需要电子表格，也不需要组合计算器，因为谷歌能执行组合的指令，你只要在谷歌的搜索栏中输入"47 choose 2"（47选2），就能得到结果1081，这正是你从一组47张牌中拿出2张牌的不同组合的数目。

接着说，在第一部分，我叙述了解决这类问题的三个基本步骤。

第一步：计算可能的结果的总数。

第二步：计算我们感兴趣的结果的数目。

第三步：用后一个数目除以前一个得出概率。

下面我们继续进入更难的问题。

例3：D约

你已经打了好几个小时安静得让人昏昏欲睡的现金游戏，大家都很无聊，为了活跃气氛，一位玩家提议玩个外围D约：“我以等额D注D下一个翻牌至少会有一张5，一张6或7。”你应该接下这个外围吗？

答案当然取决于随机选择的翻牌至少有其中一张牌的概率是高于50%还是低于50%，下面我们来计算一下。

第一步：根据第一部分的一个例子，我们知道所有可能的翻牌的数目是22100。

第二步：接下来我们要搞清楚多少翻牌是包含了5、6或7的。根据第一部分第二个例子(同花的翻牌），你可能以为要做一些粗略的运算，分别计算翻牌有其中一张牌，两张牌和三张牌的数目，然后得出总数。

还好我们不需要这么做，可以走捷径，我们只需要计算出哪些翻牌不包含这三张牌。从逻辑上看，其他所有翻牌一定至少有其中一张牌，在这个问题中，我们不需要区分翻牌分别包含一张，两张，和三张牌的特定数目。那么有多少个翻牌没有5,6或7呢？假设一副牌拿走了这12张牌，还剩40张牌，我们随机选出三张。回到电子表格这位老朋友（或在线组合计算器）这里，我们得出COMBIN(40,3)=9880。

第三步：我们用所有可能的翻牌的总数22100除以9880，得到答案0.447，也就是 44.7%的概率是翻牌没有5、6或7。通过简单的减法，翻牌至少有一张上述牌的概率是100%减去44.7%=55.3%。

结论：这个外围不该接（正如所有对手提供的外围一样），因为你用50-50的赔率来下注，但是真实的赔率是55-45，对你不利，相反，你应该向其他人提供这个外围。

例4：扑克室的优惠

其实这个例子是我写整篇文章最初的动力。我的一位朋友最近去了路易斯安那州的riverboat娱乐场，他跟我说他从来没见过扑克室在低级别无限注德州扑克游戏中提供的优惠。每当前四张公共牌是四张同花和四张顺子（连续的，不能是卡顺）或三条时，扑克室会在下一手牌发牌前往底池增加$300。其实在这里提出了一个问题，这种符合资格的公共牌出现的频率是多少？

这里谷歌帮不了你了，因为网上没有所有的答案，所以我们还是自己来算一下吧。

第一步，我们需要知道共有多少不同的四张牌的公共牌。到现在为止，从52张牌中计算四张牌的组合的数目对你来说应该就像小孩的把戏了，你想用哪个工具都行，答案是270725。

其中有多少公共牌包含三条呢？这就要想一下了。我们把AA作为例子，从未发的牌中发出三张A共有四种不同的方法，因为 COMBIN(4,3)=4。你也可以不计算，你只要知道每拿掉一张A，其他三张A有四种不同的组合方式就能得出结论。

对于这四种组合的A来说，任何48张剩余的牌都有可能是四张公共牌的最后一张。这意味着我们会看到 4 x 48 = 192种不同的三张A+一张非A的组合。四张公共牌全都是A当然也符合三条的资格，所以我们可以得到193种不同的组合。从A到K的13张牌每张都能用相同的方式进行推理，于是我们得出四张公共牌包含三条的不同组合总共有 193 x 13 = 2,509。记住，在这个计算中我们忽略了牌的顺序。如果计较顺序的话，就必须使用数学工具来计算排列组合，这个概念虽然有关系但跟本文关系不大。

现在考虑从4开始的同花的条件，对于13张牌中任何一种花色，我们需要知道四张牌的组合有多少，你知道该怎么计算啦：COMBIN(13,4) = 715。由于任何同花都符合条件，所以4 x 715 = 2,860。

那四张顺子呢？我们先从最低的顺子开始，A-2-3-4（顺序同样不重要）。每张牌都可能是任何四种花色，所以四张牌组合（比如不同花色的A组合不同花色的2，任何花色的3或任何花色的4）共有 4 x 4 x 4 x 4，所以总共有256种组合。不过，为了避免与四张同花的组合重复，我们需要把四张牌是同一花色的组合（比如四张同花顺）减掉，所以剩下的组合是252种。

从A-2-3-4到J-Q-K-A共有11种不同的连续顺子，这意味着四张公共牌是顺子的组合总共有252 x 11 = 2,772种，排除了跟四张同花重复的组合。

等一下，我们快算完了！

加上三条/四条，同花和顺子的公共牌，我们得出2,509 + 2,860 + 2,772 = 8,141种不同的公共牌组合符合扑克室的优惠资格。

最后在第三步，我们用8,141除以第一步得出的270,725，最后的答案是0.030，也就是将近3%。

那么我们的结论是，大约有3%的公共牌会符合下一次发牌前扑克室增加$300底池的资格。然后，你可以合理地推测出这个优惠平均来说，是否增加了你每手牌或每小时的期望值，从而判断是否值得一试。

说句题外话，你有没有意识到前四张公共牌出现三条、四张同花和四张顺子的概率大致相同？这对我来说也很新鲜，它们出现在前四张公共牌的概率都大约是1%。

结语

当你明白如何使用概率计算器，你能回答的关于扑克概率的问题会比你原本只能数数补牌高出很多个段位。缺点是，你没法在忙碌的打牌过程中计算，但是当你有时间时，你可以探索各种从前让你头疼的有意思的扑克数学问题。